一、一般形式
(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)
等號成立條件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或 ai、bi均為零。
一般形式的證明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
證明:
等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2項(xiàng)
等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2項(xiàng)
用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證
二、向量形式
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)
等號成立條件:β為零向量,或α=λβ(λ∈R)。
向量形式的證明
令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<<b>m,n> ∵cos<<b>m,n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注:“√”表示平方根。
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