圓周密率
齊高帝知道全國(guó)上下把宋朝恨透了,就決心讓朝廷的風(fēng)氣變變樣兒。他對(duì)大臣們說(shuō):“要是能給我十年的時(shí)間,我準(zhǔn)能讓天下的人都富裕起來(lái)。就是最貴重的黃金,我也讓它賤得跟泥土一個(gè)價(jià)錢。”為了這個(gè),他對(duì)老百姓減輕了稅收,辦什么事都注意節(jié)省。老百姓覺(jué)著比在宋朝的時(shí)候日子好過(guò)了,齊高帝的皇位也就穩(wěn)當(dāng)了。齊高帝死了以后,他兒子即位,就是齊武帝。齊武帝完全照齊高帝的法子管理朝政,齊朝果然一直安定了十多年。
齊武帝很重視發(fā)展生產(chǎn)和文化。他的二兒子肖子良更是喜歡研究學(xué)問(wèn)。肖子良看到古書上說(shuō),有一種挺怪的水罐叫欹器[欹yī〕。這種水罐空著的時(shí)候,就在一邊斜著;裝了一半水就穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)刂逼饋?lái);等裝滿了水,又一個(gè)跟頭翻過(guò)去了。據(jù)說(shuō)孔子曾經(jīng)看見過(guò)這種水罐,還嘆著氣說(shuō):“哪兒有自滿而不翻個(gè)兒的吶?”肖子良想做這么一個(gè)欹器放在身邊兒,時(shí)常提醒他自己別自滿。他請(qǐng)當(dāng)時(shí)有名的學(xué)者祖沖之給他做這個(gè)東西。
祖沖之懂得算學(xué)、天文,造個(gè)什么物件,也都很精通。還在宋朝的時(shí)候,祖沖之就提出了一種很精密的歷法。本來(lái)在那以前,宋朝一直使用《元嘉歷》?!对螝v》雖說(shuō)比以前的歷法好一點(diǎn)兒,可經(jīng)過(guò)十幾年的驗(yàn)證,還是有不少毛病。祖沖之一直很認(rèn)真地觀察天象,又反復(fù)計(jì)算。到了兒制出了一種新歷法。公元462年,他把新歷法送給宋孝武帝,請(qǐng)他頒布施行。宋孝武帝還沒(méi)說(shuō)什么,大臣戴法興就出來(lái)反對(duì)。戴法興本來(lái)不懂歷法,可偏說(shuō)新歷法不行。又是歪曲天象啦,又是違背經(jīng)典啦,反正就是不能用新的,一切都是舊的好。祖沖之理直氣壯地說(shuō):“對(duì)古人的歷法,不能全信也不能全不信。如果說(shuō)古歷不能換,那《元嘉歷》也不能用,它也是本朝才開始用的呀!咱們不是用了十多年了嗎?”他又對(duì)宋孝武帝說(shuō):“天上的日、月、星,這些東西之間是怎么個(gè)關(guān)系,完全可以算得出來(lái)。這個(gè)新歷法就是我算了這么多年才提出來(lái)的。它可不是隨隨便便地就能瞎說(shuō)一氣!”
宋孝武帝給說(shuō)服了,決定采用祖沖之的新歷法,把新歷法叫作《大明歷》。沒(méi)想到《大明歷》還沒(méi)來(lái)得及正式公布使用,宋孝武帝就死了。這一來(lái),改歷法的事,也沒(méi)有人提了[后來(lái)在梁武帝的時(shí)候得到采用,那時(shí)祖沖之已經(jīng)死去十年了]。
祖沖之沒(méi)有辦法,只好自個(gè)兒去研究學(xué)問(wèn)。他記起小的時(shí)候,讀過(guò)一本古代的算書。里面說(shuō)一個(gè)圓形的直徑假如是一尺,那么這個(gè)圓的周長(zhǎng)就是三尺[徑一周三]。圓周率[周長(zhǎng)跟直徑的比]是三。祖沖之想親自驗(yàn)證一下,看看這個(gè)說(shuō)法到底對(duì)不對(duì)。他用繩子繞著車輪子,轉(zhuǎn)了一圈幾,再量出長(zhǎng)短;又量了量車輪子的直徑,結(jié)果發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)并不正好是直徑的三倍,而是比三倍還多一點(diǎn)兒。
后來(lái),他又讀了三國(guó)時(shí)候的大數(shù)學(xué)家劉徽的文章。劉徽認(rèn)為:在圓里做一個(gè)正六邊形,每邊的長(zhǎng)剛巧就和這個(gè)圓的半徑一樣長(zhǎng)!而這個(gè)六邊形的周長(zhǎng),也就是圓的直徑的三倍;如果再把六邊形每條邊對(duì)著的一小段弧線一個(gè)一個(gè)地平分開,再做一個(gè)正十二邊形,那這個(gè)十二邊形的周長(zhǎng)要比正六邊形的周長(zhǎng)大,可是比圓的周長(zhǎng)小。照這么個(gè)辦法,再接著做正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形……邊數(shù)越多,它的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)越接近。這么一直做下去,就會(huì)跟圓周差不多合成一個(gè)。這個(gè)辦法叫“割圓術(shù)”。劉徽用這種割圓術(shù)算出了九十六邊形的周長(zhǎng)是圓的直徑的3.14倍。所以他說(shuō)圓周率應(yīng)該是3.14,還說(shuō)實(shí)際上要比3.14略微大一點(diǎn)兒。
劉徽那么早地就算出這么比較精確的圓周率,真不簡(jiǎn)單??墒亲鏇_之還想再細(xì)算一下。他對(duì)兒子祖暅[gèng]說(shuō)了這個(gè)心思,祖暅高興地說(shuō):“您既然有這個(gè)想法,咱們就把圓再往下分,一定能算出比劉徽更準(zhǔn)的數(shù)來(lái)!”
父子倆真地動(dòng)手干起來(lái)了。他們把地磨平,畫了一個(gè)直徑一丈長(zhǎng)的大圓,然后開始“割圓”:六邊、十二邊、二十四邊、四十八邊、九十六邊,算的結(jié)果跟劉徽的一樣。祖沖之二話沒(méi)說(shuō),又往下割:一九二邊、三八四邊、七六八邊、一五三六邊、三○七二邊、六一四四邊、一二二八八邊,最后畫出了二四五七六邊形。邊數(shù)越多,邊長(zhǎng)越小。父子倆蹲在地下,頭也不抬,恐怕算錯(cuò)了一點(diǎn)兒。那不就白費(fèi)勁兒了嗎?末了兒,他們算出二四五七六邊形每一邊邊長(zhǎng)是0.00012783丈,就是一厘二毫七絲八忽三微。這么短的長(zhǎng)度要用針尖兒才畫得出來(lái)。祖沖之他們費(fèi)了多大勁兒就別提了。再往下畫一個(gè)四九一五二邊形,就太難了。祖沖之站起來(lái)說(shuō):“按道理,把這個(gè)圓這么割下去,是沒(méi)完的??蓪?shí)際上,咱們沒(méi)法再割下去,就割到這兒吧!”
經(jīng)過(guò)計(jì)算,二四五七六邊形的周長(zhǎng)是3.1415926丈;如果再做一個(gè)四九一五二邊形吶,周長(zhǎng)比這個(gè)還要長(zhǎng)一點(diǎn)兒,可是超不過(guò)3.1415927丈。所以祖沖之認(rèn)為圓周率應(yīng)該在這兩個(gè)數(shù)目中間,也就是比3.1415926大,而比3.1415927小。他還找出了兩個(gè)分?jǐn)?shù),用來(lái)表示圓周率。一個(gè)是七分之二十二,等于3.1428571,不怎么準(zhǔn),可是好記;還有一個(gè)是一一三分之三五五,等于3.1415929,比較準(zhǔn)。祖沖之把頭一個(gè)分?jǐn)?shù)叫“約率”,第二個(gè)分?jǐn)?shù)叫“密率”。
祖沖之的這個(gè)圓周率,超過(guò)了所有的古人。他那時(shí)候,在全世界也是最精最細(xì)的[歐洲人還是在他一千年以后才算出這么精確的數(shù)字]。
祖沖之還造了指南車[車上有個(gè)小木人兒,不管車怎么轉(zhuǎn),小木人兒手指的方向總不變],造出了水碓磨[用水的力量舂米、磨面、磨豆腐]。這一來(lái),他的名氣大起來(lái)了。到了刁回]齊武帝的時(shí)候,肖子良就請(qǐng)他來(lái)做欹器。祖沖之答應(yīng)了,苦思苦想了好些天,果然做成了一個(gè)欹器,送給了肖子良。肖子良對(duì)祖沖之佩服極了。他舉行一些宴會(huì)的時(shí)候,也常常請(qǐng)祖沖之來(lái)參加。
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